Plus qu’un simple nombre aléatoire, 1729 relie un taxi londonien à une merveille mathématique. C’est un nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux paires de cubes différentes – 10³ + (-1)³ et 9³ + 10³ – une découverte qui l’a rendu célèbre dans les cercles mathématiques. Aujourd’hui, nous explorons trois énigmes vaguement inspirées de ce numéro historique.
Paire carrée
Quel est le plus petit nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux carrés de deux manières différentes ?
Le plus petit nombre pouvant être écrit comme la somme de deux carrés de deux manières différentes est 50.
- 5² + 7² = 25 + 49 = 50
- 1² + 7² = 1 + 49 = 50
Ce casse-tête met en évidence des modèles intéressants en théorie des nombres. La capacité d’exprimer un nombre sous la forme d’une somme de carrés est liée au théorème fondamental de l’arithmétique, qui sous-tend une grande partie des mathématiques modernes.
Strip-tease
Pouvez-vous ajouter une septième bande à cinq bandes existantes (1, 2, 7, 17 et 29 cm) sans permettre à trois d’entre elles de former un triangle ?
Les longueurs possibles pour la septième bande sont 3 cm, 4 cm et 5 cm.
L’inégalité triangulaire stipule que dans tout triangle, la somme des deux côtés doit être supérieure au troisième côté. Avec les bandes existantes, il est impossible de former un triangle car les côtés sont trop disparates. L’ajout d’une bande de 3, 4 ou 5 cm maintient cette condition.
Par exemple, avec les côtés 3, 4 et 5, vous pouvez former un triangle rectangle. Ce puzzle montre comment la géométrie et les inégalités se croisent de manière surprenante.
Sixième malade
Étant donné quatre nombres a, b, c et d, et cinq de leurs produits par paires valent 2, 3, 4, 5 et 6, quel est le sixième produit ?
Le sixième produit est 2,4.
Le produit des six combinaisons par paires (ab, cd, ac, bd, ad, bc) est égal à (abcd)². En analysant les relations, nous constatons que 2 × 6 = 3 × 4 = 12, donc le sixième produit doit être 2,4 (puisque 5 × 2,4 = 12).
Ce puzzle montre comment l’algèbre et la reconnaissance de formes peuvent résoudre des problèmes complexes. Cela démontre également que même des nombres apparemment sans rapport peuvent être interconnectés.
Conclusion
Ces énigmes révèlent comment les mathématiques se mêlent aux phénomènes quotidiens, des nombres de taxi aux formes géométriques et aux modèles algébriques. Ils nous rappellent que les nombres ne sont pas que des concepts abstraits : ils constituent le fondement de notre compréhension du monde.
