Heb je het gekraakt?
Eerder vandaag gooide ik een elegante kleine puzzel jouw kant op. Nu kunnen we zien wat er onder de motorkap zit.
Neus tot staart
Het uitgangspunt is eenvoudig. Brutaal eenvoudig. Je hebt een nummer ‘N’. Het begint met een 4. Verplaats die ‘4’ helemaal naar het einde. Het nieuwe getal is precies een kwart van het origineel.
In wiskundige termen?
N = 4[...]
En N ÷ 4 = [...]4
Vind de kleinste N die standhoudt.
De oplossing
Begin klein. Bouw naar buiten.
Probeer eerst een tweecijferig nummer. Zeg dat ‘N’ ‘4?’ is. Het ontbrekende cijfer moet 1 zijn. Waarom? Omdat een kwart van ‘40-49’ grofweg ‘10-12’ is. Concreet: een kwart van de ‘4’ op de plaats van de tientallen is ‘1’ op de plaats van de nieuwe eenheden? Nee wacht. 4x / 4 resulteert in een getal dat eindigt op 4?
Eigenlijk doe je gewoon de omgekeerde vermenigvuldiging.
4 maal is het verschoven getal gelijk aan het origineel.
Dus 4 * 1? moet eindigen op 4.
Alleen 4 * 6 eindigt op 4… wacht nee. Laten we vasthouden aan de voorwaartse logica. Een kwart van ’41’ is ‘10,25’. Te groot.
Probeer N = 4?. 4 maal het nieuwe getal (?4 ) is gelijk aan 4?.
Als het laatste cijfer ‘4’ is, en we delen door ‘4’, is het laatste cijfer van het quotiënt ‘1’.
Dus ? is 1.
Controleer het. Is 14 een kwart van 41?
Nee. ’41/4′ is ‘10,75’.
We hebben meer cijfers nodig.
Drie cijfers. N=41?.
Opnieuw. Een kwart van 4... plaatst een 1 aan het begin van het quotiënt.
Het nieuwe nummer ziet er dus uit als 1?4.
Vermenigvuldig terug. 4 * 1?4 moet gelijk zijn aan 41?.
Kijk naar het einde. 4 * 4 = 16.
Het laatste cijfer van N moet 6 zijn.
Is 416/4 gelijk aan 164?
Doe de wiskunde. 416/2 is 208. /2 is opnieuw 104.
Dichtbij. Maar niet ‘164’.
Probeer het opnieuw. Vier cijfers. N = 4..6.
We weten dat het laatste cijfer 6 is en het eerste 4.
Hoe zit het met het midden?
Het nummer ziet eruit als 4..56? Laten we dat voorlaatste cijfer vinden.
4 * [nieuw nummer eindigend op 64] = [oud nummer eindigend op ..6].
Eigenlijk is het gemakkelijker om carry’s vanaf de rechterkant te volgen.
Laatste cijfer: 6. 4*4=16, draag 1.
Tweede van rechts: het resultaat moet overeenkomen.
4 * 1564 = 6256… verkeerde start.
4 * 1564 is grofweg 6000. We hebben het nodig om te beginnen met ‘4’.
Het verschoven getal is 1...64.
4 * 64 = 2556? Geen 4*64=256.
Eindigt op ’56’.
Dus N eindigt op 56.
Controleer: Is 4156 / 4 = 1564?
`4156/2 =
